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雷诺数的前世今生

行业资信 2020-11-23 09:15:26
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自从人们发现湍流无规则的现象以后,便有无数的流体力学家们为了降服它而前赴后继。奈何湍流如同会七十二变的孙猴子一样闹腾,时至今日也无法完全收服。《西游记》的总策划如来佛祖为了让孙大圣乖乖的护送唐僧去西天取经,就安排观音菩萨下界给他脑袋上套了一个“紧箍”。有了紧箍的束缚,孙猴子似乎老实了许多,总算给取经路上添了个好帮手。

而面对更加上蹿下跳的湍流,流体力学家们便决定给它也套上一个紧箍——雷诺数,期望让湍流变得有迹可循。那么作为湍流的“紧箍”,雷诺数究竟是怎么来的呢?它和湍流之间又有哪些秘密?《西游记》开篇有言:“混沌未分天地乱,茫茫渺渺无人见。自从盘古破鸿蒙,开辟从兹清浊辨。”本着公众号一直坚持的钢铁直男的探索精神,我们也从雷诺数的起源说起......

01 雷诺数的起源

最早提出以无量纲数理论来预测流体流动的是N-S组合中的S——乔治·斯托克斯。1851年,他曾试图计算忽略惯性项的球体阻力,并导出了作用在球形物体上的摩擦力(雷诺数很小时也即阻力)的表达式,即斯托克斯定律。


人们基于斯托克斯的工作发明了落球粘度计——让一个已知大小和密度的球体通过液体下降,通过测量小球的终端速度,便可利用斯托克斯定律计算流体的粘度。

“形而上者谓之道,形而下者谓之器”,比起落球粘度计这个具体的器物,斯托克斯的思想显然更为重要——斯托克斯定律很好的启发了后来的流体工作者使用无量纲数来预测流动现象。

02 经典的雷诺实验

用无量纲数来预测流态是个很好的想法,但还未来得及进行数学实施。另一边的雷诺则迫不及待的做起了实验,用染色的墨水向人们展示流态:当圆管中的流速较低时,流体平稳地沿轴向运动,而其它方向的流动,流体的层次分明,称为层流。随着流速的增大,原本平稳的流动便逐渐演化为杂乱无章的流动,即为湍流。


和蔼可亲的雷诺堪称流体力学界的太白金星,他通过实验向人们展示了湍流这只“泼猴”的百般变化,并验证了流体的状态与管道直径、流速、流体的密度和粘度等参数相关。可是,湍流触发的机理究竟是什么?何时会产生?湍流的规律又是什么?如何驯服“一天闹腾24小时”的湍流,不仅困扰着整个天界,更是让雷诺夜不能寐。

既然不易驯服,那就招安吧。雷诺实验5年后,大彻大悟的雷诺不再纠结于湍流的复杂运动,而是将湍流分解成平均速度和脉动速度,并将流体力学的葵花宝典——N-S方程推导成雷诺方程,开启了一段快乐时光。此时的湍流就像被封了“弼马温”的猴子一般,着实老实了一段时间。

03 克莱因的天才直觉

流体力学家们可以用这种化繁为简的方式演绎湍流,可是内功深厚的数学家却觉得它总有一天会大闹天宫,必须斩草除根方得罢休。众多数学家们都想从数学层面上解释湍流触发的机理,其中尤以星光璀璨的哥廷根学派和慕尼黑学派最甚。

作为哥廷根学派的太上老君,克莱因手握着可以容纳整个宇宙的紫金葫芦——克莱因瓶,在数学界和物理学界挥斥方遒。不过众人皆知,紫金葫芦虽法力无穷,但在足智多谋的孙大圣面前一样也哑了火。


虽然紫金葫芦无法收服湍流,不过太上老君还是够老辣。关于雷诺实验,克莱因仍然有自己独特的见解。一次课后和他的助手索末菲闲谈时,克莱因便提到,为了解释管道中湍流运动的出现,我们可以认为,当管道中的流速超过临界速度时,层流变成了一种“不稳定”的运动形式,但是,不稳定发生的原因尚不清楚。因此,湍流的触发机理或许可以转化为一个稳定性问题。

言者无心,听者有意。作为克莱因助手的索末菲当即认为,或许可以以此为出发点,从理论上求解层流到湍流的过渡。然而十多年的时光飞逝,索末菲娶妻生子,并从哥廷根大学去到了亚琛工大,又来到他大放异彩的慕尼黑大学,并开启了他统领理论物理的时代。可是关于湍流触发的问题,依然没有答案。

04 雷诺数的命名

无论索末菲在量子力学的领域有多么大的成就,湍流触发机理始终像他无法得到的“床前明月光”一样,时刻萦绕在他的心头。到了1908年,恰逢第四届国际数学大会的邀请,索末菲将计就计,将他对流动稳定性和湍流触发机理的思考写成文章,邀请整个学界的同仁陪他一起纠缠。

这篇文章在历史上第一次明确以“雷诺数”命名了前人提到的某个神奇的无量纲数。于是流体力学中最重要的无量纲数终于正式登场:“如果ρ是密度,μ是流体的粘度,U是横截面上的平均速度,b是管道的直径,那么R=ρUb/μ是一个纯数,我们称之为雷诺数。”

另外,在文章中,索末菲还写下了著名的奥尔-索末菲方程,并明确应用经典的小扰动方法来解决湍流触发的问题。


所有看到奥尔-索末菲方程的人都拍案叫绝,可是却没有人能解出来,这就像有人造出了紧箍,但没有人会念咒语。果然,奥尔-索末菲方程在接下来十几年的时间困扰着整个数学和物理界。

05 特征雷诺数的纠缠之路

本着“我们解决不了的问题,就留给后面的人来做”的科学思想,索末菲把方程的求解丢给了自己的博士生,另一个量子力学的未来之星海森堡——就是那个曾经感慨,见到上帝之后一定要问两个问题,一个是“相对论”,另一个就是“湍流”的物理学家。可见海森堡被湍流虐的有多惨。

回到海森堡的博士课题上来,奥尔-索末菲方程岂是那么容易求解的。海森堡使用的小参数摄动法几乎在一开始就碰到了无法逾越的鸿沟,即解的收敛性问题和奇点问题。博士的生涯总是过得很快,眼看博士答辩的期限将至,海森堡还是没能找到答案。不过凭借天才的直觉,海森堡猜到了解的大概样子,并拼凑出了一个临界稳定雷诺数的解答,最后在导师索末菲的保护下顺(蒙)利(混)毕(过)业(关)了。


尽管海森堡的工作在这一领域具有很重要的建设意义。但其在数学分析上使用了一定的限制和近似,使得海森堡的博士论文并未得到整个学界的完全认可。其后二十年,人们都没有找到驾驭特征雷诺数的“紧箍咒”。

06 来自东方的神秘力量

直到1941年,来自东土大唐的林家翘携带着东方的神秘力量来到加州理工大学攻读博士学位。在导师冯卡门的建议下,林家翘也选择了奥尔-索末菲方程作为自己的博士课题。在博士论文中,林家翘使用精妙的渐进方法解出了特征方程,并同时给出了对称型和边界层型两类速度剖面下的特征雷诺数,并基于稳定性理论给出了流体稳定的“拇指图”曲线。整个过程逻辑严谨,堪称此类问题求解的典范。


1944年,林家翘的博士论文一经问世,便引发了整个学界的关注,也终于结束了特征雷诺数在数学求解层面的纠缠。更令人难以置信的是,林家翘的结果居然和海森堡当年凭借直觉推测出来的结果基本一致。天才果然就是这么豪横!

07 高雷诺数就是湍流吗?

按照林家翘的理论推导,圆管流动的临界雷诺数为5772,这个值和小伙伴们在流体力学课本上学到的2300偏差不小,这也说明了湍流本身的复杂性使得理论很难完全覆盖实际的流动情况。另外,随着人们对于湍流的理解不断加深,大家明白影响转捩的不只是雷诺数,还有扰动这个重要的因素。

于是,很多人都试图通过消除扰动来获取临界雷诺数,这个值在1980年甚至达到了107这个量级。因此,我们有理由相信,临界雷诺数可以无穷大,对应零扰动的流动。


如果把稳定性理论应用到泊肃叶流动,我们可以得到类似上图所示的拇指图。纵坐标是扰动,横坐标是雷诺数,可以看到当扰动足够小的时候,需要非常高的雷诺数才能触发流态的变化。

08 湍流和雷诺数之间的密语

即便有了雷诺数这个“紧箍”,加上众多大神们不知如何推导出来的“紧箍咒”,湍流世界似乎依然难以捉摸。而关于高雷诺数的湍流运动,其复杂程度大概不亚于齐天大圣大闹天宫般的混乱吧。幸得仙界还有另外一群老神仙,仍凭你猴头上蹿下跳,我自岿然不动,恪守着“万变不离统计”的思想,将复杂的湍流和雷诺数联系在了一起。


还记得我们在前面的文章中提到过的“流场中的大涡尺寸L0是由边界条件决定的,而小涡的尺寸η是由雷诺数决定的”。比如上图所示的方块绕流,决定涡旋大尺度的一定是物体的尺寸,而非雷诺数,即无论来流的速度大小,尾流中最大涡旋的尺度基本上都与物体尺寸保持相同的量级。关于雷诺数和小涡尺度之间的关系,则要重提我们之前一直给大家念叨的湍流的能级串理论:湍流中遍布着大大小小的涡系结构,能量就是在这些涡系中相互传递;一般而言,大涡生成能量,依次传递给小涡,并最终耗散。而对于一个平衡的系统,比如完全发展的湍流,大涡生成的能量不多不少的被小涡全部耗散掉。

09 雷诺数密语的数学表达

现象和理论有了,老神仙们追寻的则是更加极致的数学表达:对于充分发展的湍流,可以认为决定小尺度湍流现象(耗散尺度η)的参数只有流体的运动粘性ν(决定传递)和能量耗散率ε(决定耗散)。而此时,耗散率ε又等于大涡传递过来的能量。于是,雷诺数与大涡尺度L0和小涡尺度η之间的关系便可以推导出来:


可以看到,对于给定边界的流动,即大涡尺度L0一定。雷诺数越高,则耗散尺度η越小,即流场中的小涡尺度越小。因此,也可以认为,雷诺数越高,流场中从大涡到小涡之间的过渡越复杂,涡系结构越丰富。

1974年刊登于《流体力学》期刊中的一篇经典文章,便用流动显示技术把这一机理进行了生动形象的描绘。如下图所示,随着雷诺数的增大,涡旋的整体形状和尺度基本一致,然而射流掺混的涡系结构却越来越丰富。


本文作者:卢比与钢蛋

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